Leyes de los radicales

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Leyes de los exponentes

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Simplificación de Radicales

Simplificación de Radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radicales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción de radicales a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si:

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Algoritmo para la Factorización por Factor Común

Algoritmo para la Factorización por Factor Común

1) Para saber si se puede aplicar este algoritmo, primero localizar que los exponentes de las incógnitas de la ecuación vaya disminullendo su valor de acuerdo al exponente mayor que debe llevarlo el primer término, si hay dos incógnitas la segunda incógnita su valor mayor debe estar en el ultimo termino.

2) Para poder factorizarlo se coloca un binomio.

3) Después se debe obtener el máximo común divisor de los coeficientes que tenga la ecuación.

- Para lograrlo se debe colocar en una tabla los coeficientes de la ecuación, donde se debe dividir con el mismo valor divisor para todos, hasta que no se pueda dividir.

- Con los divisores que utilizaste deben ser multiplicados entre si, y lo que te salga ese es el MCD.

4) Colocar el MCD afuera del binomio.

5) La incógnita que lleva el MCD, debe ser la que mas predomine.

6) Su exponente que debe llevar la incógnita del MCD, es el valor menor de la incógnita escogida de la ecuación original.

7) Dentro del binomio, deben ir los números que sobraron cuando se saco el MCD, en el mismo orden y con sus incógnitas que les pertenecen a cada uno, pero los exponentes varían dependiendo de la incógnita que se escogió para el MCD, se le restaría el exponente de la incógnita del MCD a los demás exponentes y colocarlo después de haberlo hecho.

Ejercicios del trinomio

Ejercicios del trinomio de cuadrado perfecto

1) x2 + 6x + 9                         ( x + 3)2

2)16x2 + 8x +1                      (4x + 1)2

3)y2 + 10y + 25                     (y - 5)2

4)49x2 + 112x + 64               (7x + 8)2

5)81y2 - 180y + 100            (9y - 10)2

6)25x2 + 30xy + 9y2            (5x + 3y)2

7)81z2+ 108zw + 36w2        (9z - 6w)2

8)4y2 - 24y + 36                   (2y - 6)2

9)64x4y2 + 176x2y +121w6    (8x2y + 11w3)2

10)144x8 - 24 x4y5 + 5y3        (12x4 - y5)2
   

Algoritmo para la factorización del trinomio de la forma x2+bx+c

Algoritmo para la factorización del trinomio de la forma x2+bx+c

1) Comprobar que tipo de trinomio es:

Si tiene un exponente en el primer término es un trinomio al cuadrado perfecto, pero si no hay coeficiente es del trinomio de la forma

2) Ya comprobado si es un trinomio de la forma :

- Intentar si se puede factorizar, ya que en algunos casos no se pude; en dos binomios.

- Verificar que el primer término tenga raíz cuadrada, y al último término hacer la factorización completa, escoger la más indicada de todas de las que salió de la factorización completa y colocar uno en el primer binomio y el otro en el segundo.

- Para localizar los signos que debe llevar, debe observar el ultimo termino de la ecuación principal, si el signo es negativo sus signos van a ser diferentes y si es positivo los signos van a ser iguales; después checar el signo que lleva el segundo termino y ese es el que se aplica dependiendo del signo que lleve el ultimo termino de la ecuación.

3) Si al último término no se puede aplicar la factorización completa entonces no va haber factorización.

Casos de factorización

Casos de factorización

Factorizar: Es descomponer en el producto de sus factores una expresion algebraica

Estos son los 10 de Casos de Factorizacion:

➀ Factorar un Monomio:

En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b


➁ Factor Común Monomio:

En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos

Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común

a² + 2a = a ( a + 2 )


➂ Factor Común Polinomio:

x [ a + b ] + m [ a + b ]

En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio

x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )




➃ Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo

ax + bx + ay + by =

[ax + bx] + [ay + by]


Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)

Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio

x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)


➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino

Factorar: m² + 6m + 9

m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3

➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ]


➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado

(m + 3)²


Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²


➌ Ahora aplica la Regla del TCP

(m + 3)²

El Cuadrado del 1er Termino = m²

[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m

[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9


➍ Junta los Términos

m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla

➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)

De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)

a² - b² = (a - b) (a + b)


4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)


➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:

Factorar (a + b)² - c²

(a + b)² - c²

Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)

[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis

(a + b + c) (a + b – c)


➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12

➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio

(x.......) (x.......)



➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12


➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis

(x + 4)(x + 3)


Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)


➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c

Factorar 6x² - x – 2 = 0

Pasos:

➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación

6x² - x – 2

36x² - [ 6 ] x – 12



➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente

(6x.......) (6x.......)

➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]

➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]

- 4 + 3 = - 1

[ - 4] [ 3 ] = - 12

➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis

(6x - 4) (6x - 3)

➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos

(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)

Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)

➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³


Suma de Cubos:
============
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)


Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]


[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]

Diferencia de Cubos:
==============

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]